题目
对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”;f[f(x)]=x,则称x为f(x)的“稳定点”,函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A={x| f(x)=x},B={x| f[f(x)]=x}.
⑴求证:A含于B
⑵若f(x)=ax²-1(a∈R,x∈R),且A=B≠Φ,求a的取值范围
⑴求证:A含于B
⑵若f(x)=ax²-1(a∈R,x∈R),且A=B≠Φ,求a的取值范围
提问时间:2021-01-03
答案
1)设t为A中任一个元素,则有:f(t)=t
因此f(f(t))=f(t)=t,故t也必为B中的元素.
因此A包含于B
2)由f(x)=x,得:ax^2-1=x,此方程有实根,故delta=1+4a>=0,得:a>=-1/4
由f(f(x))=x,得:a(ax^2-1)^2-1=x,为方便,令t=ax^2-1,则方程化为:
at^2-1-x=0
at^2-atx+atx-ax^2+ax^2-1-x=0
at(t-x)+ax(t-x)+t-x=0
(t-x)(at+ax+1)=0
由于A=B,因此at+ax+1=0无实根,或其实根与t-x=0的根相同.
a(ax^2-1)+ax+1=0,无实根,即a^2x^2+ax-a+1=0,无实根
a=0时符合,a0时,须delta=a^2-4a^2(-a+1)
因此f(f(t))=f(t)=t,故t也必为B中的元素.
因此A包含于B
2)由f(x)=x,得:ax^2-1=x,此方程有实根,故delta=1+4a>=0,得:a>=-1/4
由f(f(x))=x,得:a(ax^2-1)^2-1=x,为方便,令t=ax^2-1,则方程化为:
at^2-1-x=0
at^2-atx+atx-ax^2+ax^2-1-x=0
at(t-x)+ax(t-x)+t-x=0
(t-x)(at+ax+1)=0
由于A=B,因此at+ax+1=0无实根,或其实根与t-x=0的根相同.
a(ax^2-1)+ax+1=0,无实根,即a^2x^2+ax-a+1=0,无实根
a=0时符合,a0时,须delta=a^2-4a^2(-a+1)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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