题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率e=√6÷3,过点A（0,-b）和（a,0）的直线与原点的距离为√3÷2.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知定点E（-1,0）,若直线Y=Kx+2（K≠0）与椭圆交于C,D两点.问：是否存在K的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

提问时间：2021-01-02

答案

(1)
过AB是x/a-y/b=1
即bx-ay-ab=0
所以距离=|0-0-ab|/√(a2+b2)=√3/2
a2b2/(a2+b2)=3/4
4a2b2=3a2+3b2
e=c/a
e2=c2/a2=(a2-b2)/a2=(√6/3)2=2/3
3a2-3b2=2a2
a2=3b2
代入4a2b2=3a2+3b2
12b^4=12b2
b>0
所以b2=1,a2=3
x2/3+y2=1
(2)
设CD的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)
EC=(x1+1,y1),ED=(x2+1,y2),EC,ED是向量
若E在以CD为直径的圆的圆周上,则有EC*ED=0
(x1+1)(x2+1)+y1y2=0
x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=0
x1x2+(x1+x2)+1+(kx1+2)(kx2+2)
(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0
将y=kx+2代入椭圆方程
x2/3+(kx+2)2=1
(1/3+k2)x2+4kx+3=0
x1+x2=-4k/(1/3+k2),x1x2=3/(1/3+k2)
代入化简得
3(k2+1)-4k(2k+1)+5(1/3+k2)=0
(14/3)-4k=0
k=7/6