题目

比较n^（n+1）和（n+1）^n的大小（n是自然数）,我们从分析n=1,n=2...这些简单情况入手
1、比较下列数大小（填＞、＜、＝）
1^2___2^1 2^3____3^2 3^4___4^5 5^6___6^5
2、归纳第一题结果,猜出n^（n+1）和（n+1）^n的大小关系

提问时间：2021-01-02

答案

题目有笔误：“3^4___4^5 ”
（1）1^2__＜_2^1 2^3__＜__3^2 3^4__＞_4^3 5^6_＞__6^5
（2）n≦2,n^(n+1)(n+1)^n
如：
n=1时,n^(n+1)=1(n+1)^n=625；
.
所以有当n≤2时,n^(n+1)(n+1)^n.
其实这个结论是可以证明的,证明如下：
设f(x)=lnx/x(x>=1)
对函数求导得到f'(x)=(1-lnx)/x^2
所以有当1≦x≦e时,f'(x)>0函数是单调增的.
当x>e时,f'(x)ln(n+1)/(n+1)
故有(n+1)lnn>nln(n+1)
即lnn^(n+1)>ln(n+1)^n,而函数y=lnx是单调增的,所以有
当n>=3时
n^(n+1)>(n+1)^n
对于n=1,n=2时的情况,可以直接列举,进行比较就可以得到的.
结论如上.