题目

x是未知数的无穷项级数∑（-1）n次方/e的nx次方,我用狄利克雷判别法证明它在（0,+∞）一致收敛：①级数∑（-1）n次方的部分和数列在（0,＋∞）一致有界②1/e的nx次方,对每一个固定的x关于n单调且一致趋于零.所以说原级数一致收敛.但是书上说这个级数是不一致收敛的,请问我的证明错在哪?

提问时间：2021-01-02

答案

②e^(-nx)对每一个固定的x关于n单调趋于0. 这是没错的.
但是这个收敛在(0,＋∞)不是一致的, 越靠近0收敛的越慢.
对ε=1/3, 任意的N>0, 存在x=ln(2)/N>0, 使e^(-Nx)=1/2>ε, 因此e^(-nx)不是一致收敛到0.
基本上与[0,1)上的函数列{x^n}这个不一致收敛的例子是一样的.