题目

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于所有的自然数n，都有S

提问时间：2021-01-02

答案

证明：法一：
令d=a₂-a₁．
下面用数学归纳法证明a_n=a₁+（n-1）d（n∈N）．
（1）当n=1时上述等式为恒等式a₁=a₁．
当n=2时，a₁+（2-1）d=a₁+（a₂-a₁）=a₂，等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，a_k=a₁+（k-1）d．由题设，有
S_k=

k(a1+ak)

2

，S_k+1=

(k+1)(a1+ak+1)

2

，又S_k+1=S_k+a_k+1
∴（k+1）

(a1+ak+1)

2

＝

k(a1+ak)

2

+ak+1
把a_k=a₁+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a₁+a_k+1）=2ka₁+k（k-1）d+2a_k+1．
整理得（k-1）a_k+1=（k-1）a₁+k（k-1）d．
∵k≥2，∴a_k+1=a₁+kd．即当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{a_n}是等差数列
法二：
当n≥2时，由题设，Sn−1＝

(n−1)(a1+an−1)

2

，Sn＝

n(a1+an)

2

．
所以a_n=S_n-S_n-1=

n(a1+an)

2

-

(n−1)(a1+an−1)

2

同理有
a_n+1=

(n+1)(a1+an−1)

2

-

n(a1+an)

2

．
从而
a_n+1-a_n=

(n+1)(a1+an−1)

2

-n（a₁+a_n）+

(n−1)(a1+an−1)

2

，
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1═a₂-a₁
从而{a_n}是等差数列．