题目

用向量内积证明:正方形的对角线相等且互相垂直

提问时间：2021-01-02

答案

已知：在正方形ABCD中,AC、BD为对角线.
求证：AC=BD且AC⊥BD.
证明：|向量AB|=|向量AD|=正方形的边长a(a>0),向量AB⊥向量AD,向量AB•向量AD=0,
由向量加减法法则,
向量AC=向量AB+向量AD,
|向量AC|2= (向量AC)2=(向量AB+向量AD)2
=(向量AB)2+2向量AB•向量AD +(向量AD)2,
=|向量AB|2+0 +|向量AD|2
=2a2；
向量BD=向量AD-向量AB,
|向量BD|2= (向量BD)2=(向量AD-向量AB)2
=(向量AD)2-2向量AD•向量AB +(向量AB)2,
=|向量AD|2-0 +|向量AB|2
=2a2；
∴|向量AC|2=|向量BD|2,即|向量AC|=|向量BD|,
∴正方形的对角线AC、BD相等.
向量AC•向量BD
=(向量AB+向量AD)•(向量AD-向量AB)
=(向量AD)2-(向量AB)2
=|向量AD|2-|向量AB|2
=a2-a2
=0,
∴向量AC⊥向量BD,
即正方形的对角线AC、BD互相垂直.