题目
某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6c224f4a20a4462369f648d39b22720e0cf3d747.jpg)
(Ⅰ)若设休闲区的长和宽的比
=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
(Ⅱ)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
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(Ⅰ)若设休闲区的长和宽的比
A1B1 |
B1C1 |
(Ⅱ)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
提问时间:2021-01-02
答案
(Ⅰ)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,
∴a2x=4000⇒a=
,
∴S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160
(Ⅱ)S≥1600+4160=5760,
当且仅当2
=
⇒x=2.5时,公园所占面积最小,此时,a=40,ax=100,
即休闲区A1B1C1D1的长为100米,宽为40米.
∴a2x=4000⇒a=
20
| ||
|
∴S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160
|
(Ⅱ)S≥1600+4160=5760,
当且仅当2
x |
5 | ||
|
即休闲区A1B1C1D1的长为100米,宽为40米.
(I)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,根据休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,将a用x表示,然后根据矩形的面积公式求出公园ABCD所占面积S关于x的函数即可;
(II)利用均值不等式求出最小值,注意等号成立的条件,从而求出长和宽.
(II)利用均值不等式求出最小值,注意等号成立的条件,从而求出长和宽.
函数模型的选择与应用.
本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及利用均值不等式求最值,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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