题目

一道数学椭圆题,请问,
已知椭圆C：（x2/a2）+（y2/b2）=1（a>b>0）,其中c2=a2-b2,c/a=（根号3）/3,过右焦点F的直线l与C相交于A,B两点,当l斜率为1时,坐标原点O到l的距离为（根号2）/2 （1）求a,b的值（2）C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有向量OP=向量OA+向量OB成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程,若不存在,说明理由.

提问时间：2021-01-02

答案

答案
(Ⅰ)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0,
O到l的距离为|0-0-c|/根号2=根号2/2,故c/根号2=根号2/2,c=1
由e=c/a=根号3/3,得a=根号3,b^2=a^2-c^2=2.b=根号2
(Ⅱ)C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有向量OP=OA+OB成立,
由(Ⅰ)知C的方程为2x2+3y2=6,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
(ⅰ)当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=k(x-1),
C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为（x1+x2,y1+y2）,
且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,
整理得2x1^2+3y1^2+2x2^2+3y2^2+4x1x2+6y1y2=6,
又A、B在C上,即2x1^2+3y1^2=6,2x2^2+3y2^2=6,
故2x1x2+3y1y2+3=0,.(1)
将y=k（x-1）代入2x^2+3y^2=6,
并化简得(2+3k^2)x^2-6k^2x+3k^2-6=0,
于是x1+x2=6k^2/(2+3k^2),x1x2=(3k^2-6)/(2+3k^2),y1y2=k^2(x1-1)(x2-1)=-4k^2/(2+3k^2)
代入①解得,k2=2,此时x1+x2=3/2,
于是y1+y2=k(x1+x2-2)=-k/2,即,P(3/2,-k/2)
因此,当k=根号2时,P坐标是(3/2,-根号2/2),l的方程为y=根号2(x-1)；
当k=-根号2时,P坐标是(3/2,根号2/2),l的方程为y=-根号2(x-1)；
(ⅱ)当l垂直于x轴时,由OA+OB=（2,0）知,C上不存在点P使成立；
综上,C上存在点P使成立,此时l的方程为y=土根号2(x-1).