题目
已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根.数列{bn}的前n项和为Tn,满足Tn=2-bn(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,记cn=(Sn-λ)•bn(λ∈R,n∈N*).若c6为数列{cn}中的最大项,求实数λ的取值范围.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,记cn=(Sn-λ)•bn(λ∈R,n∈N*).若c6为数列{cn}中的最大项,求实数λ的取值范围.
提问时间:2021-01-02
答案
(Ⅰ)∵a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根
∴a2+a5=12,a2a5=27,
∵d>0,∴a2=3,a5=9,
∴d=
=2,a1=1,
∴an=2n-1(n∈N*)
在已知Tn=2-bn中,令n=1,得b1=1
当n≥2时,Tn=2-bn,Tn-1=2-bn-1,两式相减得,bn=bn-1-bn,
∴
=
(n≥2),
∴bn=(
)n−1(n∈N*)
(Ⅱ)∵Sn=
=n2,则cn=(Sn−λ)•bn=(n2−λ)•(
)n−1
当n≥2时,cn−cn−1=(n2−λ)•(
)n−1−[(n−1)2−λ]•(
)n−2=
∴c6为数列{cn}中的最大项,
∴有n≥7时,cn-cn-1≤0,
∴λ≤23,n≤6时,cn-cn-1≥0,
∴λ≥14
∴14≤λ≤23.
∴a2+a5=12,a2a5=27,
∵d>0,∴a2=3,a5=9,
∴d=
a5−a2 |
3 |
∴an=2n-1(n∈N*)
在已知Tn=2-bn中,令n=1,得b1=1
当n≥2时,Tn=2-bn,Tn-1=2-bn-1,两式相减得,bn=bn-1-bn,
∴
bn |
bn−1 |
1 |
2 |
∴bn=(
1 |
2 |
(Ⅱ)∵Sn=
n[1+(2n−1)] |
2 |
1 |
2 |
当n≥2时,cn−cn−1=(n2−λ)•(
1 |
2 |
1 |
2 |
−n2+4n−2+λ |
2n−1 |
∴c6为数列{cn}中的最大项,
∴有n≥7时,cn-cn-1≤0,
∴λ≤23,n≤6时,cn-cn-1≥0,
∴λ≥14
∴14≤λ≤23.
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