题目

已知二次函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且f（0）=0，f（1）=1，若x∈[m，n]时f（x）的值域也为[m，n]，求m，n．

提问时间：2021-01-02

答案

由f（1+x）=f（1-x）可知二次函数函数f（x）的对称轴为x=1，
又因f（0）=0，f（1）=1，则f（x）=-（x-1）²+1≤1，∴n≤1
∴f（x）在区间[m，n]上单调递增

f(m)＝m f(n)＝n

即

−m2+2m＝m −n2+2n＝n

，
而m＜n，所以m=0，n=1；
故答案为0，1．

二次函数f（x）可以利用待定系数法求出函数解析式，注意到函数自身的最大值是1，能发现f（x）在区间[m，n]上单调递增，根据单调性建立等量关系．

本题考点：二次函数的图象；二次函数的性质．

考点点评：本题考查了函数解析式的求解，以及利用单调性求解函数的值域，属基础题．