题目

已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小体积值为（　　）
A.

π

9

提问时间：2021-01-02

答案

如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，（N与D不重合）连接N点与D点
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
N与D重合也满足题意，∠ADC=120°
故P点的轨迹是一个以D中心，半径为1的半球的

1

3

．
所以所求体积为：

1

3

×

1

2

×

4

3

π=

2π

9

，
故选B．