题目

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足xf′（x）-f（x）≥0，对任意正数a，b，若a＞b，则必有（　　）
A. af（a）≤bf（b）
B. bf（b）≤af（a）
C. af（b）≤bf（a）
D. bf（a）≤af（b）

提问时间：2021-01-02

答案

F（x）=

f(x)

x

，
可得F'（x）=

1

x2

[xf′（x）-f（x）]，
又由xf′（x）-f（x）≥0，分2种情况讨论：
①xf′（x）-f（x）＞0，所以 F'（x）＞0即F（x）是增函数，
即当a＞b＞0时，F（a）＞F（b），
∴

f(b)

b

＜

f(a)

a

，从而af（b）＜bf（a）；
②xf′（x）-f（x）=0，所以F（x）是常数函数，
有

f(b)

b

=

f(a)

a

，即af（b）=bf（a）；
综合有af（b）≤bf（a）；
故选C；

令F（x）=

f(x)

x

，对其进行求导，根据xf′（x）-f（x）≥0，证明F（x）是增函数，利用单调性进行求解；

本题考点：导数的乘法与除法法则．

考点点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，解题时要认真审题，注意导数的合理运用．