题目

在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，-1）的距离之和最小的点的坐标是______．

提问时间：2021-01-02

答案

如图，设平面直角坐标系中任一点P，
P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，-1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，
故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．
∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，-1），
∴AC，BD的方程分别为：

y−2

6−2

＝

x−1

3−1

，

y−5

−1−5

＝

x−1

7−1

，
即2x-y=0，x+y-6=0．
解方程组

2x−y＝0 x+y−6＝0

得Q（2，4）．
故答案为：（2，4）．

如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．

本题考点：一般形式的柯西不等式．

考点点评：本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．