题目

已知abc∈正整数,abc=1,且a(1+c)>1,b(1+a)>1,c(1+b)>1试证2(a+b+c)≥1/a + 1/b+ 1/c +3

提问时间：2021-01-02

答案

已知a, b, c > 0, abc = 1, 且a(1+c) > 1, b(1+a) > 1, c(1+b) > 1.
求证: 2(a+b+c) ≥ 1/a+1/b+1/c+3.
由a, b, c > 0, abc = 1, 可设a = x/y, b = y/z, c = z/x, 其中x, y, z > 0.
所证不等式变为2(x/y+y/z+z/x) ≥ y/x+z/y+x/z+3.
等价于2(x²z+y²x+z²y) ≥ x²y+y²z+z²x+3xyz.
将a = x/y, c = z/x代入a(1+c) > 1得x+z > y (y > 0), 即x-y+z > 0.
同理, 分别由b(1+a) > 0与c(1+b) > 0可得y-z+x > 0, z-x+y > 0.
于是4(x²z+y²x+z²y)-2(x²y+y²z+z²x)-6xyz = (x-y+z)(x-y)²+(y-z+x)(y-z)²+(z-x+y)(z-x)² ≥ 0.
即有2(x²z+y²x+z²y) ≥ x²y+y²z+z²x+3xyz.
注: 最后配方这一步略显突兀, 实际上是根据等号成立条件和已知条件凑出来的.