题目
△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M,N,交y轴于点P,其中M的坐标是(a+c,0).
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)若S△MNP=3S△NOP,①求cosC的值;②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值,使三角形MND(D为抛物线的顶点)是等腰直角三角形?如能,请求出这组值;如不能,请说明理由.
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)若S△MNP=3S△NOP,①求cosC的值;②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值,使三角形MND(D为抛物线的顶点)是等腰直角三角形?如能,请求出这组值;如不能,请说明理由.
提问时间:2021-01-02
答案
(1)证明:∵抛物线y=x2-2ax+b2经过点M(a+c,0)
∴(a+c)2-2a(a+c)+b2=0(1分)
∴a2+2ac+c2-2a2-2ac+b2=0
∴b2+c2=a2.(5分)
由勾股定理的逆定理得:△ABC为直角三角形;(2分)
(2)①如图所示;
∵S△MNP=3S△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON.(5分)
又M(a+c,0)
∴N(
,0)(3分)
∴a+c,
是方程x2-2ax+b2=0的两根
∴(a+c)+
=2a3.(5分)
∴c=
a(4分)
由(1)知:在△ABC中,∠A=90°
由勾股定理得b=
a.(5分)
∴cosC=
=
(5分)
②能.(5分)
由(1)知y=x2-2ax+b2=x2-2ax+a2-c2=(x-a)2-c2
∴顶点D(a,-c2)(6分)
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM,DN=DM
要使△MND为等腰直角三角形,只须ED=
MN=EM.(5分)
∵M(a+c,0)D(a,-c2)
∴DE=c2EM=c
∴c2=c又c>0,
∴c=1(7分)
∵c=
ab=
a
∴a=
b=
.(5分)
∴当a=
,b=
,c=1时,△MNP为等腰直角三角形.(8分)
∴(a+c)2-2a(a+c)+b2=0(1分)
∴a2+2ac+c2-2a2-2ac+b2=0
∴b2+c2=a2.(5分)
由勾股定理的逆定理得:△ABC为直角三角形;(2分)
(2)①如图所示;
∵S△MNP=3S△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON.(5分)
又M(a+c,0)
∴N(
a+c |
4 |
∴a+c,
a+c |
4 |
∴(a+c)+
a+c |
4 |
∴c=
3 |
5 |
由(1)知:在△ABC中,∠A=90°
由勾股定理得b=
4 |
5 |
∴cosC=
b |
a |
4 |
5 |
②能.(5分)
由(1)知y=x2-2ax+b2=x2-2ax+a2-c2=(x-a)2-c2
∴顶点D(a,-c2)(6分)
过D作DE⊥x轴于点E则NE=EM,DN=DM
要使△MND为等腰直角三角形,只须ED=
1 |
2 |
∵M(a+c,0)D(a,-c2)
∴DE=c2EM=c
∴c2=c又c>0,
∴c=1(7分)
∵c=
3 |
5 |
4 |
5 |
∴a=
5 |
3 |
4 |
3 |
∴当a=
5 |
3 |
4 |
3 |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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