题目

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．

提问时间：2021-01-02

答案

（1）由f（x）=x³+ax²+bx+5得，f′（x）=3x²+2ax+b，
∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴

3+2a+b=3 3-a=1

，解得

a=2 b=-4

，
∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-4x+5，
f'（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=0，得x=

2

3

或x=-2．
当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙

x	-3	（-3，-2）	-2	(-2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，1)	1
f'（x）		+		-		+
f（x）	8	增	极大值	减	极小值	增	4

∴f（x）的极大值为f（-2）=13，极小值为f(

2

3

)=

95

27

，
又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13．

（1）先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a和b的值；
（2）由（1）求出f′（x），再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．

本题考点：A:利用导数研究曲线上某点切线方程 B:利用导数求闭区间上函数的最值

考点点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题．