题目

甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的

3

倍，则甲船应沿______方向前进才能尽快追上乙船，相遇时乙船已行驶了______海里．

提问时间：2021-01-02

答案

如图所示，设到C点甲船上乙船，
乙到C地用的时间为t，乙船速度追为v，
则BC=tv，AC=

3

tv，∠B=120°，
由正弦定理知

BC

sin∠CAB

=

AC

sinB

，
∴

1

sin∠CAB

=

3

sin120°

，
∴sin∠CAB=

1

2

，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，
∴BC=AB=a，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos120°
=a²+a²-2a²•（-

1

2

）=3a²，
∴AC=

3

a，BC=a，
则甲船应沿北偏东30°方向前进才能尽快追上乙船，相遇时乙船已行驶了a海里．
故答案为：北偏东30°，a．

由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度追为v，则BC=tv，AC=

3

tv，B=120°，在三角形中利用正弦定理及余弦定理即可求解．

本题考点：余弦定理；正弦定理．

考点点评：此题考查了正弦、余弦定理，方位角，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．