题目
cosx比sinx+cosx 0到二分之π的定积分 参考答案四分之π
提问时间:2021-01-02
答案
方法一
令cosx=a(sinx+cosx)+b(sinx+cosx)'
=a(sinx+cosx)+b(cosx-sinx)
=(a+b)cosx+(a-b)sinx,
得a+b=1,a-b=0,a=b=1/2,
于是Jcosx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)J[(sinx+cosx)+(sinx+cosx)']/(sinx+cosx)dx
=(1/2)Jdx+(1/2)J1/(sinx+cosx)d(sinx+cosx)
=(1/2)[x+ln|sinx+cosx|]+c
于是易得原定积分=pi/4,pi=3.141592...,J表示积分符号.
方法二
∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx
令x=pi/2-t,则pi= ∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx
=-∫(pi/2,0)sinx/(sinx+cosx)dx
=∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx
所以
∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx=∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)[∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx+∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx]
=(1/2)∫(0,pi/2)(sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫(0,pi/2)dx=pi/4
令cosx=a(sinx+cosx)+b(sinx+cosx)'
=a(sinx+cosx)+b(cosx-sinx)
=(a+b)cosx+(a-b)sinx,
得a+b=1,a-b=0,a=b=1/2,
于是Jcosx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)J[(sinx+cosx)+(sinx+cosx)']/(sinx+cosx)dx
=(1/2)Jdx+(1/2)J1/(sinx+cosx)d(sinx+cosx)
=(1/2)[x+ln|sinx+cosx|]+c
于是易得原定积分=pi/4,pi=3.141592...,J表示积分符号.
方法二
∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx
令x=pi/2-t,则pi=
=-∫(pi/2,0)sinx/(sinx+cosx)dx
=∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx
所以
∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx=∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx
=(1/2)[∫(0,pi/2)cosx/(sinx+cosx)dx+∫(0,pi/2)sinx/(sinx+cosx)dx]
=(1/2)∫(0,pi/2)(sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫(0,pi/2)dx=pi/4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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