题目

已知二次函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，且在x轴上截得的线段长为2．若f（x）的最小值为-1，求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．

提问时间：2021-01-02

答案

（1）因为y=f（x）的对称轴为x=2，f（x）的最小值为-1，
所以y=f（x）的顶点为（2，-1），
所以y=f（x）的解析式可设为f（x）=a（x-2）²-1，
又因为f（x）在x轴上截得的线段长为2，所以过（1，0）点，所以0=a（1-2）²-1，解得a=1．
所以y=f（x）的解析式为f（x）=（x-2）²-1．
（2）①当t+1＜2即t＜1时，g（t）=f（t+1）=（t-1）²-1；
②当t≤2，t+1≥2即1≤t≤2时，g（t）=f（2）=-1；
③当t＞2时，g（t）=f（t）=（t-2）²-1；
综上得 g(t)=

(t-1)2-1，t＜1 -1，1≤t≤2 (t-2)2-1，t＞2

．

（1）待定系数法：根据图象的对称轴及最小值可设f（x）=a（x-2）²-1，由在z轴上截得线段长为2可知f（x）过点（1，0），带入即可求得f（x）；
（2）数形结合：分三种情况讨论：对称轴在区间[t，t+1]的右侧、在区间内、在区间左侧．

本题考点：函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查二次函数解析式的求解及二次函数在动区间上的最值问题，注意体会本题中数形结合思想及分类讨论思想的运用．