题目

已知抛物线y=ax^2+bx+c与直线y=kx+4相交于A(1,m),B(4,8)两点,与X轴交于原点O及点C
1、求直线与抛物线相应的函数解析式
2、在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使得S三角形OCD=12S三角形OCB?如果存在,请求出满足条件的D,如果不存在,请说明理由

提问时间：2021-01-02

答案

(1)由题目可知,A、B两点都在抛物线和直线上,所以将这两个点代到解析式里头,有
k+4=m,a+b+c=m,4k+4=8, 16a+4b+c=8
又因为抛物线还交于远点,所以将（0,0）代入抛物线,得c=0
解得k=1,m=5, a=-1, b=6
所以抛物线 y=-x^2+6x 直线y=x+4
(2)抛物线 y=-(x-6)x,所以C（6,0）,所以OC=6
设D（x0,y0),(x0>0,y0>0)
S△OCB=6*8/2=24,
S△OCD=6*y0/2=1/2S△OCB=12,所以y0=4
因为D在抛物线上,所以将D（x0,4）代入抛物线,得-x0^2+6x0=4,得x0=3+√5 或 3-√5
所以存在D（3+√5,4）或D（3-√5,4）,使得条件成立.