题目

求方程x3+x2y+xy2+y3=8（x2+xy+y2+1）的全部整数解

提问时间：2021-01-02

答案

设 x3＋x2y＋xy2＋y3＝（x＋y）3－2xy（x＋y）＝u3－2vu
则x2＋xy＋y2＝（x＋y）2－xy＝u2－v
原方程变为:
2v（u－4）＝u3－8u2－8 （2）
因u≠4
根据已知,u－4必整除72,所以只能有
u－4＝±2α3β,其中α＝0,1,2,3；β＝0,1,2
进一步计算可知只有u－4＝2·3＝6,于是
u＝10,v＝16