题目
利用柱面法求I=∫∫∫1/(x^2+y^2+z^2)dv其中积分区域是由z=1与z=x^2+y^2所围城的闭区域
提问时间:2021-01-02
答案
Dxy:x² + y² ≤ 1
∫∫∫Ω 1/(x² + y² + z²) dV
= ∫∫Dxy dxdy [∫(r²→1) 1/(r² + z²) dz]
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) rdr ∫(r²→1) 1/(r² + z²) dz
= 2π∫(0→1) rdr (1/r)arctan(z/r) |(r²→1)
= 2π∫(0→1) [arctan(1/r) - arctan(r)] dr
= 2π{[(1/2)ln(r² + 1) + rarctan(1/r)] - [rarctan(r) - (1/2)ln(r² + 1)]} |(0→1)
= 2π{[(1/2)ln(2) + π/4] - [π/4 - (1/2)ln(2)]}
= 2πln(2)
∫∫∫Ω 1/(x² + y² + z²) dV
= ∫∫Dxy dxdy [∫(r²→1) 1/(r² + z²) dz]
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) rdr ∫(r²→1) 1/(r² + z²) dz
= 2π∫(0→1) rdr (1/r)arctan(z/r) |(r²→1)
= 2π∫(0→1) [arctan(1/r) - arctan(r)] dr
= 2π{[(1/2)ln(r² + 1) + rarctan(1/r)] - [rarctan(r) - (1/2)ln(r² + 1)]} |(0→1)
= 2π{[(1/2)ln(2) + π/4] - [π/4 - (1/2)ln(2)]}
= 2πln(2)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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