题目
在等腰三角形ABC中角BAC=90度,AD=AE,AF垂直于BE交BC于点F,过F作FG垂直于CD交BE延长线于G,求证:GM=MF可以吗
提问时间:2021-01-02
答案
过C作AB的平行线交AF的延长线于K.设GF交AC于M
那么由AB=AC,BAC ACK都是直角,ABE CAK都是90°-CAK知△ABE全等于△CAK.BE=AK
又CF=CF,MCF KCF都是45°,MFC KFC都是90°-角GBC,所以△FMC全等于△FKC.
所以FM=FK
再由角GME=角CMF=角CKF=角AEB=角MEG知道GE=GM
如果求 BG=AF+FG 可以这样
∵AD=AE,AB=AC,∠BAC为公共角
∴△BAE≌△CAD
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DCB=∠EBC
延长GF到H,使FH=AF,连接BH.
在△BAF,△BHF中,
AF=FH,BF为公共边,∠BFA=∠BFH(易证)
∴△BAF≌△BHF
∴∠BAF=∠BHF,∠ABF=∠HBF=45°
∵∠BAF=∠AEB=∠EBF+45°,∠HBG=∠EBF+45°
∴∠GBH=∠BHF
∴GB=GH
∴BG=AF+FG
那么由AB=AC,BAC ACK都是直角,ABE CAK都是90°-CAK知△ABE全等于△CAK.BE=AK
又CF=CF,MCF KCF都是45°,MFC KFC都是90°-角GBC,所以△FMC全等于△FKC.
所以FM=FK
再由角GME=角CMF=角CKF=角AEB=角MEG知道GE=GM
如果求 BG=AF+FG 可以这样
∵AD=AE,AB=AC,∠BAC为公共角
∴△BAE≌△CAD
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DCB=∠EBC
延长GF到H,使FH=AF,连接BH.
在△BAF,△BHF中,
AF=FH,BF为公共边,∠BFA=∠BFH(易证)
∴△BAF≌△BHF
∴∠BAF=∠BHF,∠ABF=∠HBF=45°
∵∠BAF=∠AEB=∠EBF+45°,∠HBG=∠EBF+45°
∴∠GBH=∠BHF
∴GB=GH
∴BG=AF+FG
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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