题目
二面角的平面角及求法!
在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H⊥平面AA1B1B,且 C1H=5.
(Ⅰ)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角A-A1C1-B1的正弦值;
(Ⅲ)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B1C1,求线段BM的长.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H⊥平面AA1B1B,且 C1H=5.
(Ⅰ)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角A-A1C1-B1的正弦值;
(Ⅲ)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B1C1,求线段BM的长.
提问时间:2021-01-02
答案
方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.
依题意得 A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,-2,5)A1(22,22,0),B1(0,22,0),C1(2,2,5)
易得 AC→=(-2,-2,5),A1B1→=(-22,0,0),
于是 cos〈AC→,A&1B1→>=AC→•A1B1→|AC→|•|A1B1→|=43×22=23,
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23.
(II)易知 AA1→=(0,22,0),A1C1→=(-2,-2,5).
设平面AA1C1的法向量 m→=(x,y,z),
则 {m→•A1C1→=0m→•AA1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.
不妨令 x=5,可得 m→=(5,0,2),
同样地,设平面A1B1C1的法向量 n→=(x,y,z),
则 {n→•A1C1→=0n→•A1B1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5,
可得 n=(0,5,2).
于是 cos<m→,n→>=m→•n→|m→||n→|=27•7=27,
从而 sin<m→,n→>=357.
所以二面角A-A1C1-B的正弦值为 357.
(III)由N为棱B1C1的中点,
得 N(22,322,52).设M(a,b,0),
则 MN→=(22-a,322-b,52)
由MN⊥平面A1B1C1,得 {MN→•A1B1→=0MN→•A1B1→=0
即 {(22-a)•(-22)=0(22-a)•(-2)+(322-b)•(-2)+52•5=0.
解得 {a=22b=24.故 M(22,24,0).
因此 BM→=(22,24,0),所以线段BM的长为 |BM→|=104.
方法二:
由于AC∥A1C1,故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角.
因为C1H⊥平面AA1B1B,又H为正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H=5,
可得A1C1=B1C1=3.
因此 cos∠C1A1B1=A1C12+A1B12-B1C122A1C1•A1B1=23.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23.
(II)连接AC1,易知AC1=B1C1,
又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,
所以△AC1A1≌△B1C1A,过点A作AR⊥A1C1于点R,
连接B1R,于是B1R⊥A1C1,故∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角.
在Rt△A1RB1中,B1R=A1B1•sin∠RA1B1=22•1-(23)2=2143.
连接AB1,在△ARB1中,AB1=4,AR=B1R,cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB122AR•B1R= -27,
从而 sin∠ARB1=357.
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为 357.
(III)因为MN⊥平面A1B1C1,所以MN⊥A1B1.
取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点,
所以ND∥C1H且 ND=12C1H=52.
又C1H⊥平面AA1B1B,
所以ND⊥平面AA1B1B,故ND⊥A1B1.
又MN∩ND=N,
所以A1B1⊥平面MND,连接MD并延长交A1B1于点E,
则ME⊥A1B1,故ME∥AA1.
由 DEAA1=B1EB1A1=B1DB1A=14,
得 DE=B1E=22,延长EM交AB于点F,
可得 BF=B1E=22.连接NE.
在Rt△ENM中,ND⊥ME,故ND2=DE•DM.
所以 DM=ND2DE=524.
可得 FM=24.
连接BM,在Rt△BFM中,BM=FM2+BF2=104.
依题意得 A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,-2,5)A1(22,22,0),B1(0,22,0),C1(2,2,5)
易得 AC→=(-2,-2,5),A1B1→=(-22,0,0),
于是 cos〈AC→,A&1B1→>=AC→•A1B1→|AC→|•|A1B1→|=43×22=23,
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23.
(II)易知 AA1→=(0,22,0),A1C1→=(-2,-2,5).
设平面AA1C1的法向量 m→=(x,y,z),
则 {m→•A1C1→=0m→•AA1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.
不妨令 x=5,可得 m→=(5,0,2),
同样地,设平面A1B1C1的法向量 n→=(x,y,z),
则 {n→•A1C1→=0n→•A1B1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5,
可得 n=(0,5,2).
于是 cos<m→,n→>=m→•n→|m→||n→|=27•7=27,
从而 sin<m→,n→>=357.
所以二面角A-A1C1-B的正弦值为 357.
(III)由N为棱B1C1的中点,
得 N(22,322,52).设M(a,b,0),
则 MN→=(22-a,322-b,52)
由MN⊥平面A1B1C1,得 {MN→•A1B1→=0MN→•A1B1→=0
即 {(22-a)•(-22)=0(22-a)•(-2)+(322-b)•(-2)+52•5=0.
解得 {a=22b=24.故 M(22,24,0).
因此 BM→=(22,24,0),所以线段BM的长为 |BM→|=104.
方法二:
由于AC∥A1C1,故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角.
因为C1H⊥平面AA1B1B,又H为正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H=5,
可得A1C1=B1C1=3.
因此 cos∠C1A1B1=A1C12+A1B12-B1C122A1C1•A1B1=23.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23.
(II)连接AC1,易知AC1=B1C1,
又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,
所以△AC1A1≌△B1C1A,过点A作AR⊥A1C1于点R,
连接B1R,于是B1R⊥A1C1,故∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角.
在Rt△A1RB1中,B1R=A1B1•sin∠RA1B1=22•1-(23)2=2143.
连接AB1,在△ARB1中,AB1=4,AR=B1R,cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB122AR•B1R= -27,
从而 sin∠ARB1=357.
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为 357.
(III)因为MN⊥平面A1B1C1,所以MN⊥A1B1.
取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点,
所以ND∥C1H且 ND=12C1H=52.
又C1H⊥平面AA1B1B,
所以ND⊥平面AA1B1B,故ND⊥A1B1.
又MN∩ND=N,
所以A1B1⊥平面MND,连接MD并延长交A1B1于点E,
则ME⊥A1B1,故ME∥AA1.
由 DEAA1=B1EB1A1=B1DB1A=14,
得 DE=B1E=22,延长EM交AB于点F,
可得 BF=B1E=22.连接NE.
在Rt△ENM中,ND⊥ME,故ND2=DE•DM.
所以 DM=ND2DE=524.
可得 FM=24.
连接BM,在Rt△BFM中,BM=FM2+BF2=104.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1进位标志位CF在做减法时是如何置数的
- 22.下列结论正确的是( ) A.若ac>bc,则a>b B.若a2>b2 ,则a>b C.若a>b,c<0则 a+c
- 3365乘到304是多少
- 4甲,乙两人与江边钓鱼,甲钓了7条鱼,乙钓了11条鱼.中午来了一位游客,甲,乙两人把钓得的鱼烧熟后平均分
- 5数学有哪些进制
- 6一个1/4圆的周长是14.28cm,求1/4圆的面积?答案是12.
- 7童趣解释词语!
- 8we,brush,a,twice,teeth,should,our,day(连词成句)
- 93:()=几分之九=20分之几=75%=()折=()成()
- 10一个水池长6米、宽5米、高1.5米,池里所储的水是36立方米,水池中水深是( )米.
热门考点
- 1作文要求写记叙文 我却写成了类似鲁迅先生的《从百草园到三味书屋》(散文) 会扣分么?扣多少(50满分)
- 2若a>b>0,m>0,判断b/a与b+m/a+m的大小关系,并加以证明.
- 3过去式句子一定要有时间点吗?就是yesterday之类的
- 4一项工程 甲乙合作8天完成,现在甲乙合作2天后,余下的由甲单独做,又用15天完成.甲独做这项工程几天完成
- 5在四边形ABCD中,向量AB=向量BC,且绝对值AB=绝对值AD,则四边形ABCD是什么形状
- 6CIF和FOB 的区别是什么?
- 7测定氧气在空气中含量的实验原理
- 8文化宫举办画展,展出许多幅画.其中有26幅画不是六年级的,有25幅不是五年级的,现在知道五、六年级共有37幅画,其他年级共有多少幅画?
- 9如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上一点,EC⊥BC,EC=BD,DF=FE.求证: (1)△ABD≌△ACE; (2)AF⊥DE.
- 102007年4月18日,全国铁路实施第六次大提速,提速后,干线时速达200千米每小时.铁路大提速将方便人们的出行,如宁波到武昌的距离为1100千米,提速前列车的平均速度为八十千米每小时,提速后运行时间缩