题目

已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC=4，BD=2，那么EG²+HF²的值等于（　　）
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25

提问时间：2021-01-02

答案

如下图所示
依次连接EF、FG、GH、HE
∵E是AB中点，H是AD中点，
∴EH∥BD，且EH=

1

2

BD=1
同理：
FG∥BD，FG=

1

2

BD=1
所以，EH∥FG，EH=FG
同理，EF∥HG，EF=HG
所以，四边形EFGH为边长为1、2的平行四边形
设∠EHG=θ，那么∠HEF=180°-θ
在△EHG中，由余弦定理有：
EG²=EH²+HG²-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ
在△EFH中，由余弦定理有：
FH²=EF²+EH²-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）=5+4cosθ
上述两式相加，得到：
EG²+FH²=5-4cosθ+5+4cosθ=10
故选A