题目

一道高代题：A是n阶矩阵,r（A）=r

提问时间：2021-01-02

答案

考虑矩阵P
0 I(n-1)
0 0
PA结果是删除A第一行,然后再在A最低下填上一个全0行
矩阵Q
0 0
I(n-1) 0
AQ把A第一列删除,再在最后添加一个0列
很显然PAQ把A整个向左上方移一格,然后把右侧和底侧分别补0
考虑矩阵A,既然r(A)=r,则必然存在变换矩阵M,N使得
M Ar N =A,其中Ar是它标准型,左上角是个r阶单位矩阵,其他全部是0,
由前面可以知道,Ar = P P P ...P E Q Q Q...Q,其中P,Q个数都是n-r个
而MP,n-r-2个PQ,及QN都是秩为n-1矩阵,他们乘积就是A