题目

正方形ABCD的周长为40米,甲乙两人分别从A B同时出发沿着正方形的边行走,甲按逆时针方向每分钟行35米,乙按顺时针方向每分钟行30米.如果用记号(a,b)表示两人出发后已行a分钟,并相遇b了次,求两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时,对应的记号.
A在右下角，以逆时针顺序标点

提问时间：2021-01-02

答案

相遇了b次,意思是两合作走了b圈.
分析甲乙在正方形中的四种情况：B1、B2均为大于0的整数
设甲走了B1圈,乙走了B2圈,则：
甲 乙 甲走的路程 乙走的路程
A C 40B1 40B2+30
C A 40B1+20 40B2+10
B D 40B1+10 40B2+20
D B 40B1+30 40B2
上面四种情况,不管哪一种,甲乙路程之和为：40B+30 其中B＝B1+B2
再根据它们的速度,所以建立等式：65A = 40B+30
对于此方程是无穷多组整数解的
只需取第一次,那么先从小的数开始依次选取
因为左边为 65乘上一整数,右边为40乘上一整数再加30 为一偶数
所以左边的a应为偶数才对
先选 a=2 ,对应有130 = 40*b +30 得不到整数b,但此时有130=40*3+10
再选 a = 6 对应有390 ＝ 40*b + 30 得到整数 b= 9
此时对应的记号为：(6,9) ,甲在B点,乙在D点

再进一步考虑,那么第二次出现在对项点上的时候,记号为多少呢?
分析甲乙在正方形中的四种情况：B1、B2均为大于0的整数
设甲走了B1圈,乙走了B2圈,则：
甲 乙 甲走的路程 乙走的路程
B D 40B1 40B2
D B 40B1+20 40B2+20
A C 40B1+30 40B2+10
C A 40B1+10 40B2+30
上面四种情况,不管哪一种,甲乙路程之和为：40B 其中B＝B1+B2 (+1)
再根据它们的速度,所以建立等式：65A = 40B
化简得：13A=8B
若取A=8 B=13 (然后按倍数扩大,乘1,乘2……)
再加上前面的情况,那么第二次出现在对角上的时候是A=8+6=14 B=13+9=22
此时对应的记号为：(14,22) 此时甲在B点,乙在D点
按此规律,第n次出现在对顶点上的对应记号为：(6+(n-1)*8,9+(n-1)*13)
之前题意好像没有理解清楚,对不起.