题目
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.若AC⊥BD,AD+BC=10
,且∠ABC=60°,求CD的长.
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提问时间:2021-01-02
答案
作DE⊥BC于E,过D作DF∥AC交BC延长线于F,
则四边形ADFC是平行四边形,
∴AD=CF,DF=AC.
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,
∴DF=BD,
又∵AC⊥BD,DF∥AC,
∴BD⊥DF,
∴△BDF是等腰直角三角形,
∴DE=
BF=
(AD+BC)=5
,
在Rt△CDE中,
∵∠DCE=60°,DE=CD•sin∠DCE,
∴5
=CD•sin60°,
∴CD=10.
则四边形ADFC是平行四边形,
∴AD=CF,DF=AC.
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,
∴DF=BD,
又∵AC⊥BD,DF∥AC,
∴BD⊥DF,
∴△BDF是等腰直角三角形,
∴DE=
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在Rt△CDE中,
∵∠DCE=60°,DE=CD•sin∠DCE,
∴5
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∴CD=10.
首先过D作DE⊥BC于E,过D作DF∥AC交BC延长线于F,把梯形转换成平行四边形和直角三角形的问题.求梯形的面积就变换成求三角形的面积,而求三角形的面积根据已知条件容易求出.
梯形;解直角三角形.
此题考查了梯形的一种常用辅助线-平移梯形的对角线,把梯形的面积问题转换成三角形的面积的问题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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