题目

已知圆心过点（1,0）,圆心C在x轴的正半轴上,直线l：y=x-1被圆C所截得的弦长为2根号2,则经过圆心C且与直线l垂直的直线方程为?

提问时间：2021-01-02

答案

设圆心坐标(x0,0) (x0>0),则圆半径=|x0-1|
(x-x0)²+y²=(x0-1)²
直线方程变形：x-y-1=0
圆心到直线距离d=|x0-0-1|/√[1²+(-1)²]=|x0-1|/√2
由直线被圆截得的弦的一半、圆半径、圆心到直线的垂线段组成直角三角形
(x0-1)²=(2√2/2)²+[|x0-1|/√2]²
整理,得
(x0-1)²=4
x0=-1(x0>0,舍去)或x0=3
圆心坐标(3,0)
所求垂线的斜率是已知直线的斜率的负倒数,且过(3,0)点.
垂线斜率=-1
所求直线方程为y-0=-(x-3),整理,得y=-x+3.
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