题目

已知f（x）=-x³+ax在（0，1）是增函数，求实数a的取值范围．（不能用导数解）

提问时间：2021-01-02

答案

∵f（x）=-x³+ax在（0，1）是增函数，设1＞x₂＞x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=-x23+ax₂-（-x13+ax₁）=x13-x23+a（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）[-（x12+x₁•x₂+x22）+a（x₂-x₁）]=（x₂-x₁）[-（x12+x₁•x₂+x22）+a]．
要使f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函数，
应有-（ x12+x₁•x₂+x22 ）+a≥0，即 a≥x12+x₁•x₂+x22．
由于1＞x₂＞x₁＞0，可得 x12+x₁•x₂+x22＜3，∴a≥3，
即a的范围为[3，+∞）．