题目

圆O1、圆O2相交于A、B,圆O2过圆O1的圆心.
（1）如图1,过A作圆O1的一条直径AC,连CB并延长交圆O2于D,连DO1,求证：DO1垂直于AC
（2）如图2,过A作圆O1的一条非直径的弦AC,连CB并延长交圆O2于点D,则DO1与AC还垂直吗?

提问时间：2021-01-02

答案

(1)
证明：
易知,弧AO1=弧BO1,
∴∠BDO1=∠ADO1=(1/2)*∠ADB,
在圆O2内,易得∠ADB+∠AO1B=180°,
在圆O1内,有
∠AO1B=2∠O1CB,（圆心角是圆周角的2倍）
∴∠O1CB+∠O1DB
=(1/2)*(∠AO1B+∠ADB)
=(1/2)*180°
=90°,
∴∠DO1C
=180°-(∠O1CB+∠O1DB)
=90°,
∴DO1⊥AC
得证,
(2)
当AC不是直径时,
需要的所有条件都没有改变,
在圆O2中,仍然有
∠AO1B+∠ADB=180°,
∠ADB=2∠O1DB,
在圆O1中,弦AB对的圆周角∠ACB仍然是圆心角∠AO1B的1/2,
∴仍然有关系∠ACB+∠ADB=90°,
∴DO1⊥AC仍然成立!