题目

设m、n∈R,若直线mx+ny-1=0与x轴相较于点A,与y轴相交于点B,且L与圆x²+y²=4相交所得弦长为2,O为原点坐标,则ΔAOB面积的最小值为___________.

提问时间：2021-01-02

答案

3
首先L就是直线mx+ny-1=0吧,题目好像打漏了
由直线方程得A （1/m,0) B(0,1/n）
ΔAOB面积=1/|2mn|
ΔAOB面积的平方就是1/(4m*m*n*n）,（这一步为了去掉绝对值,同时方便下面利用不等式）
L与圆x²+y²=4相交所得弦长为2,作图可知L到圆心的距离应该为： 根号3(圆的半径,弦的一半,和圆心到弦的距离构成一个直角三角形）
而圆心就是远点,所以由点到直线距离公式有 1/根号(m*m+n*n)=根号3
所以m*m+n*n=1/3
m*m+n*n=1/3 ,由柯西不等式09 即ΔAOB面积的最小值为根号9=3（最后别忘记刚求出来的是面积的平方）
当且仅当m=n=1/6时取得最小值