题目

裂项相消法
1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] （3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] 这些等式是怎么求出来的?或者有什么规律麽
额 断剑残花的最后一句不是很明白。将分子提出？
还有我最不明白的就是，如：1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1) 后面的那个1/2怎么得来的

提问时间：2021-01-02

答案

裂项相消
如
An=1/n*(n+1) 这样An=（(n+1)-n)/n*(n+1) =1/n -1/(n+1)
An=1/n*(n+k) k为常数
给分子分母同乘k 即An=k/k*n*(n+k)=(1/k)*(n+k -n)/(n*(n+k))
=(1/k)*(1/n - 1/(n+k) )
An=1/n*(n+k)(n+2k)
k为常数
给分子分母同乘2k
即An=2k/2k*n*(n+k)(n+2k)
=(1/2k)*(n+2k - n)/n*(n+k)(n+2k)
=(1/2k)*(1/n*(n+k) - 1/(n+k)(n+2k)
往后4项5项的见得就少了
对于其他裂项
如
出现（An+1 - An)/AnAn+1 也可以考虑将他变成1/An+1 -1/An 然后将1/An看成一个新数列
还有一种就是强行的裂项
An=n*(2^n)
设An=Bn+1 - Bn 那么Sn=A1+A2+...+An=(B2-B1）+（B3-B2)+.(Bn+1 - Bn )
=Bn+1 - Bn
观察An后面有个2^n 那么可以肯定Bn 后面也有2^n
直接设Bn=（Kn+T)2^n 那么Bn+1 = (K(n+1)+T)2^(n+1)
把2^(n+1)写成2*2^n 再把2乘进去就是
Bn+1 = (2K(n+1)+2T)2^n=（2Kn+2K+2T)2^n
An=Bn+1 - Bn =(2Kn+2K+2T -Kn - T)2^n=(Kn+2K+T)2^n
与An对比得
K=1 2K+T=0 所以T=-2
Bn=(n-2)*2^n
Sn=Bn+1 - B1 =(n-1)2^（n+1）+2