题目
已知函数f(x)=alnx+(a+1)/2x^2+1讨论函数f(x)的单调性
提问时间:2021-01-02
答案
f(x)=alnx+(a+1)/2·x²+1,x>0
f'(x)=a/x+(a+1)x=[(a+1)x²+a]/x
(1) a=-1,f'(x)=-1/x<0,f(x)在(0,+∞)单调减;
(2) a<-1,(a+1)x²+a<0恒成立,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)单调减;
(3) -1<a<0,令f'(x)=0,即 考虑到x>0,解得x=√[-a/(a+1)],
在(0,√[-a/(a+1)]),f'(x)<0,f(x)单调减;
在(√[-a/(a+1)],+∞),f'(x)>0,f(x)单调增;
(4)a≧0,(a+1)x²+a≧0恒成立,f'(x)≧0,f(x)在(0,+∞)单调增.
综上,.
f'(x)=a/x+(a+1)x=[(a+1)x²+a]/x
(1) a=-1,f'(x)=-1/x<0,f(x)在(0,+∞)单调减;
(2) a<-1,(a+1)x²+a<0恒成立,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)单调减;
(3) -1<a<0,令f'(x)=0,即 考虑到x>0,解得x=√[-a/(a+1)],
在(0,√[-a/(a+1)]),f'(x)<0,f(x)单调减;
在(√[-a/(a+1)],+∞),f'(x)>0,f(x)单调增;
(4)a≧0,(a+1)x²+a≧0恒成立,f'(x)≧0,f(x)在(0,+∞)单调增.
综上,.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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