题目

如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，AB=AC=2

3

，弦AD交BC于点E，且AD=6．

（1）求∠ABC的度数和线段BE的长；
（2）过点A作⊙O的切线，交DB的延长线于点F，求证：BF=BO．

提问时间：2021-01-01

答案

（1）∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∵AD=6，AB=2

3

，由勾股定理得：BD=

AB2+AD2

=4

3

，
∴AB=

1

2

BD，
∴∠D=30°，
∴∠C=∠D=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵∠BAD=∠BAE=90°，∠D=∠ABE=30°，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

BE

BD

，
∴

2 3

6

=

BE

4 3

，
∴BE=4．
（2）证明：
连接OA，
∵∠D=30°，
∴∠AOB=2∠D=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，∠OAB=∠ABO=60°，
∵AF切⊙O于A，
∴∠OAF=90°，
∴∠FAB=90°-60°=30°，
∴∠F=∠ABO-∠FAB=60°-30°=30°=∠FAB，
∴FB=AB，
∵AB=BO，
∴BF=BO．

（1）求出BD，得出BD=2AB，推出∠D=30°，即可求出∠ABC；证△ABE∽△ADB，即可求出BE；
（2）连接AO，得出等边三角形ABO，推出AB=OB，∠OAB=∠ABO=60°，求出∠F=∠FAB，推出AB=BF，OB=AB，即可得出答案．

本题考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，圆的切线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．