题目

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，侧棱长为

2

，D为A₁C₁中点．

（Ⅰ）求证；BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）三棱锥B-AB₁D的体积．

提问时间：2021-01-01

答案

（Ⅰ）连结A₁B与AB₁交于E，连结DE，则E为A₁B的中点，故DE为△A₁BC₁的中位线，∴BC₁∥DE．
又DE⊂平面AB₁D，BC₁⊄平面AB₁D，∴BC₁∥平面AB₁D．（6分）
（Ⅱ）过点D作DH⊥A₁B₁，∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴AA₁⊥平面A₁B₁C₁，AA₁⊥DH，AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴DH⊥平面ABB₁A₁．DH为三棱锥D-ABB₁的高．（8分）
∵S△ABB1=

1

2

•AB•BB1=

2

MH=

1

2

A1B1=

2

，（10分）
且 DH=A1Dtan

π

3

=

3

2

，
∵VB-AB1D=VD-ABB1=

1

3

×

3

2

×

2

=

6

6

．（12分）

（Ⅰ）连结A₁B与AB₁交于E，与偶三角形的中位线的性质可得BC₁∥DE，再根据直线和平面平行的判定定理，证明BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅱ）过点D作DH⊥A₁B₁，利用平面和平面垂直的性质可得DH⊥平面ABB₁A₁ ，DH为三棱锥D-ABB₁的高，求出S△ABB1和DE的值，再根据VB−AB1D＝VD−ABB1，运算求得结果．

本题考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题主要考查证明直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的性质，求棱锥的体积，属于中档题．