题目

f(x)=lnx-1/x,x≥2,证明：f（x－1）≤2x－5,我算到h（x）=ln（x＋1）－1/（x＋1）－2x＋5≤h(2)=ln3...
f(x)=lnx-1/x,x≥2,证明：f（x－1）≤2x－5,我算到h（x）=ln（x＋1）－1/（x＋1）－2x＋5≤h(2)=ln3+2/3后就算不下去了

提问时间：2021-01-01

答案

证明：此题用拉格朗日定理来证明.
在区间(x,x+1)对函数lnx运用拉格朗日定理,
ln(x+1)-lnx=1/ξ(x+1-x)=1/ξ
x<ξ<x+1
知1／x＞1/ξ＞1／（x＋1）
所以ln(x+1)-lnx＞1／（x＋1）
则 ln(1+1/x)>1/(1+x)
所以当：x>0时：ln(1+x)-lnx>1/(1+x)