题目
直线l过点(1,0),且被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9,则直线l的方程为______.
提问时间:2021-01-01
答案
①当直线l的斜率存在时设斜率为k,由直线l过(1,0)得到直线l的方程为y=k(x-1)
则联立直线l与3x+y-6=0得
解得
,所以交点坐标为(
,
);同理直线l与3x+y+3=0的交点坐标为(
,
),
则所截得线段长为
=9,化简得1+k2=(3+k)2即6k+9=1,解得k=-
,
所以直线l的方程为y=-
(x-1),化简得4x+3y-4=0;
②当直线l的斜率不存在时,直线x=1与两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0的交点分别为(1,3)与(1,-6),此两点间距离是9,故直线x=1被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9,
综上,直线l的方程为4x+3y-6=0或x=1
故答案为:4x+3y-6=0或x=1
则联立直线l与3x+y-6=0得
|
|
6+k |
3+k |
3k |
3+k |
k-3 |
3+k |
-6k |
3+k |
则所截得线段长为
(
|
4 |
3 |
所以直线l的方程为y=-
4 |
3 |
②当直线l的斜率不存在时,直线x=1与两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0的交点分别为(1,3)与(1,-6),此两点间距离是9,故直线x=1被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9,
综上,直线l的方程为4x+3y-6=0或x=1
故答案为:4x+3y-6=0或x=1
分两种情况考虑,①直线l的斜率存在时设出直线的斜率,根据过(1,0)和斜率写出直线l的方程,然后分别与两平行线联立分别表示出直线l与平行线的两个交点坐标,利用两点间的距离公式根据直线l被两平行直线所截得的线段长为9列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值;②当斜率不存在时显然x=1满足条件,综上即可得到直线l的方程.
直线的点斜式方程.
此题考查学生会根据两直线的方程求交点坐标,灵活运用两点间的距离公式化简求值,会根据一点和斜率写出直线的方程,是一道中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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