题目

数码不相同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．

提问时间：2021-01-01

答案

设这个两位数十位数字为a，个位数字为b，
（10a+b）²-（10b+a）²=99（a+b）（a-b），
因为a、b是不同的数字，
由此得出a+b是11的倍数，即a+b=11k，由a≤9，b≤9，即a+b≤18，所以k=1，a+b=11，
（a-b）k是完全平方数，因此（a-b）可以为0，1，4，于是得到，

a+b＝11 a−b＝1

，

a+b＝11 a−b＝4

，

a+b＝11 a−b＝0

，
只有一组解符合要求，解得

a＝6 b＝5

，
因此这两位数有56，65共两个．

设十位数字为a，个位数字为b，这个两位数就为10a+b，交换位置后为10b+a，（10a+b）²-（10b+a）²=99（a+b）（a-b），因而a+b是11的倍数即a+b=11k，且（a-b）k是完全平方数，由此讨论得到解．

本题考点：完全平方数；数的十进制．

考点点评：本题考查了完全平方数与整数的十进制表示法，关键是设出这个两位数的十位数字是a，个位数字是b，然后根据题意列方程求解．