题目

已知函数f（x）=lg（x+1）．
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[-1，1]）的解析式．

提问时间：2020-12-30

答案

（1）f（1-2x）=lg（2-2x）
由

2-2x＞0 x+1＞0

，得-1＜x＜1．
由0＜f（1-2x）-f（x）＜1得0＜lg

2-2x

x+1

＜1，
∴1＜

2-2x

x+1

＜10  
∵x+1＞0，
∴x+1＜2-2x＜10x+10，
∴-

2

3

＜x＜

1

3

．
∵-1＜x＜1，
∴-

2

3

＜x＜

1

3

；
（2）当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，因此y=g（x）=g（-x）=lg[（-x）+1]=lg（1-x），
∴函数y=g（x）=

lg(1-x)，x∈[-1，0) lg(1+x)，x∈[0，1]

（1）根据对数的运算性质，求出具体不等式，即可求x的取值范围；
（2）当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，因此y=g（x）=g（-x），进而可得函数y=g（x）（x∈[-1，1]）的解析式．

本题考点：A:函数的周期性 B:对数函数图象与性质的综合应用

考点点评：本题考查了利用函数的周期性，奇偶性求函数解析式，属于基础题型．