题目

数学问题:当圆x^2+y^2+2ax-2ay+3a^2-2a-1=0的面积最大时
1,当圆x^2+y^2+2ax-2ay+3a^2-2a-1=0的面积最大时,圆在x轴上截得的弦长为()
A,0 B,1 C,2 D,3
2,已知P是椭圆x^2/4+y^2=1上一点,F1和F2是焦点,若∠F1PF2=π/3,
则三角形PF1F2的面积____________
3,已知F1,F2是双曲线x^2/9-y^2/16=1的两个焦点,点P在双曲线上,且|PF1|.|PF2|=32,
∠F1PF2的大小_____________
4,已知A(0,1)是椭圆x^2+4y^2=4上的一点P,P是椭圆上的动点,当弦AP的长度最大时,则点P的坐标
____(±4√2/3,-1/3)__________
5,已知F1,F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦

如果∠PF2Q=90度,则双曲线的离心率___1+√2___________
最好解析一下

提问时间：2020-12-30

答案

x^2+y^2+2ax-2ay+3a^2-2a-1=0
(x+a)^2+(y-a)^2=2a+1-a^2
如果面积最大
那么2a+1-a^2必须最大
那么a=1
原式(x+1)^2+(y-1)^2=2
令y=0
x^2+2x+1+1=2
x=0,x=-2
所以弦长为2,选C
设PF1＝x,PF2=y 依题意有：x＋y＝2a＝4,cos∠F1PF2＝cosπ/3＝(x^2+y^2-12)/2xy=[（x+y）^2-2xy-12]/2xy=(4-2xy)/2xy=1/2 ===>xy=4/3,所以△F1PF2的面积s＝（xysinπ/3）/2＝(4/3)*根号3/4=根号3/3
│PF1│-│PF2│=2a=6
│PF1│*│PF2│=32
│PF1│^2+│PF2│^2=100
│F1F2│=10
cos∠F1PF2=(│PF1│^2+│PF2│^2-│F1F2│^2)/2│PF1│*│PF2│
=0
∠F1PF2=π/2
PF1⊥PF2
所以∠F1PF2=90
∵点P在椭圆上,∴设点P的坐标为(2cosθ,sinθ),
则｜AP｜＝根号[4cos^θ+(sinθ-1)^2]=根号[-3(sinθ+1/3)^2+16/3] ．∴当sinθ＝－1/3时,
｜AP｜最大,此时P的坐标为(±4根号2/3,-1/3 )．
由｜PF2｜＝｜QF2｜,∠PF2Q＝90°,知｜PF1｜＝｜F1F2｜即b^2/a=2c,b^2/a^2=2c/a
∴e^2－2e－1＝0,e＝1＋根号2 或e＝1－根号2 (舍)．
e=1+根号2