题目

已知关于x的方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0…①的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0…②的两个实数根x₁，x₂之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

提问时间：2020-12-30

答案

把x=0代入得m²-2m-3=0．
解得m=3或-1．
∵方程有两个不相等实数根．
∴[-2（m+1）]²-4×（m²-2m-3）＞0．
解得m＞-1．
∴m=3．
∵x₁，x₂之差的绝对值为1．
∴（x₁-x₂）²=1．
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1．
（k-3）²-4（-k+4）=1．
解得k₁=-2，k₂=4．
∵当k=-2时，△=[-（k-3）]²-4（-k+4）
=k²-2k-7
=（-2）²-2×（-2）-7
=1＞0
当k=4时，△=k²-2k-7=4²-2×4-7=1＞0．
∴存在实数k=-2或4，使得方程②的两个实数根之差的绝对值为1．

本题先要从第一个方程的判别式及有一个根为0出发，确定实数m的值，然后将m的值代入第二个方程并将其化简，再利用根与系数的关系根据题意看看能否找出k的值．

本题考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．

考点点评：本题是一个探索存在性问题，利用判别式和根与系数的关系，按照题意直接推理是解这类问题的基本方法．