题目

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2

2

，底面ABCD是菱形，
且∠ABC=60°，E为CD的中点．

（1）证明：CD⊥平面SAE；
（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF∥平面SAE？并证明你的结论．

提问时间：2020-12-30

答案

（1）∵SA=AB=2，SB=2

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，∴∠SAB=90°；∵底面ABCD是菱形，∴AB=AD，同理可得∠SAD=90°；
∴SA⊥AB，SA⊥AD；
∴SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD；
∴SA⊥CD，即CD⊥SA；
连接AC，∠ADC=60°，AD=CD；
∴△ACD为等边三角形，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；
∴CD⊥平面SAE．
（2）取AB中点G，并过G作GF∥SA，交SB于F，连接CF；
∵CG∥AE，AE⊂平面SAE，CG⊄平面SAE；
∴CG∥平面SAE，同理可得FG∥平面SAE，FG∩CF=G；
∴平面CFG∥平面SAE，CF⊂平面CFG；
∴CF∥平面SAE，并且F为SB的中点．
这样就找到了点F．

（1）根据线面垂直的判定定理，只要证明CD垂直于平面SAE内的两条相交直线即可，容易证明CD⊥AE，CD⊥SA，所以会得到CD⊥平面SAE．
（2）要找直线CF∥平面SAE，转化为找CF所在的平面和平面SAE平行，分别作两条直线和平面SAE内的两直线平行，这样能得到一个平面和SAE平面平行，取AB中点G，连接CG，过G作GF∥SA，交SB于F，容易证明平面CFG∥平面SAE，所以CF∥平面SAE，这样F点就找到了．

本题考点：直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定．

考点点评：考查线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，注意要找一直线和一平面平行，转化为找直线所在平面和这个平面平行的办法．