题目

设F是抛物线y^2=4x 的焦点,A,B为抛物线上异于原点的两点,FA与FB垂直,延长AF,BF分别交于抛物线C,D,求ABCD四边形的最大面积

提问时间：2020-12-30

答案

两直线垂直,焦点为(1,0),不妨设两直线为:y=k(x-1)与ky=1-x 分别与抛物线方程连立(因为有两个交点,所以k≠0):y=k(x-1).(1) y^2=4x.(2) 代入有k^2x^2-2k^2x+k^2-4x=0,k^2x^2-2(k^2+2)x+k^2=0 |x1-x2|=√Δ/|a|=4√(k^2+1)/k^2 弦长L1=√(k^2+1)|x1-x2|=4(k^2+1)/k^2 同理,再连立一次 ky=1-x.(1) y^2=4x.(2) 代入有y^2=4-4ky,y^2+4ky-4=0 |y1-y2|=√Δ/|a|=4√(k^2+1) 弦长L2=√(k^2+1)|y1-y2|=4(k^2+1) 两条直线相互垂直,这个四边形的面积S=0.5L1*L2=0.5*4×4(k^2+1)^2/k^2 S=8[k^2+(1/k^2)+2]≥32 当且仅当k=±1时等号成立,此时取到面积最小值为32,没有最大值