题目
如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
(1)求证:AE=BD;
(2)求证:MN∥AB.
(1)求证:AE=BD;
(2)求证:MN∥AB.
提问时间:2020-12-30
答案
证明:(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,
∵∠DCA=∠ECB=60°,
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,
在△ACE与△DCB中,
∵
,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=BD;
(2)∵由(1)得,△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°,而A、C、B三点共线,
∴∠DCN=60°,
在△ACM与△DCN中,
∵
,
∴△ACM≌△DCN,
∴MC=NC,
∵∠MCN=60°,
∴△MCN为等边三角形,
∴∠NMC=∠DCN=60°,
∴∠NMC=∠DCA,
∴MN∥AB.
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,
∵∠DCA=∠ECB=60°,
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,
在△ACE与△DCB中,
∵
|
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=BD;
(2)∵由(1)得,△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°,而A、C、B三点共线,
∴∠DCN=60°,
在△ACM与△DCN中,
∵
|
∴△ACM≌△DCN,
∴MC=NC,
∵∠MCN=60°,
∴△MCN为等边三角形,
∴∠NMC=∠DCN=60°,
∴∠NMC=∠DCA,
∴MN∥AB.
(1))先由△ACD和△BCE是等边三角形,可知AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°,∠ECB=60°,故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,根据SAS定理可知△ACE≌△DCB,由全等三角形的性质即可得出结论;
(2)由(1)中△ACE≌△DCB,可知∠CAM=∠CDN,再根据∠ACD=∠ECB=60°,A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°,由全等三角形的判定定理可知,△ACM≌△DCN,故MC=NC,再根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形,故∠NMC=∠DCN=60°故可得出结论.
(2)由(1)中△ACE≌△DCB,可知∠CAM=∠CDN,再根据∠ACD=∠ECB=60°,A、C、B三点共线可得出∠DCN=60°,由全等三角形的判定定理可知,△ACM≌△DCN,故MC=NC,再根据∠MCN=60°可知△MCN为等边三角形,故∠NMC=∠DCN=60°故可得出结论.
等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质,根据题意判断出△ACE≌△DCB,△ACM≌△DCN是解答此题的关键.
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