题目

如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A₁B₁，B₁C₁的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=

a

3

，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= ___ ．

提问时间：2020-12-30

答案

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，MN⊂平面A₁B₁C₁D₁
∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A₁B₁、B₁C₁的中点
∴MN∥A₁C₁∥AC，
∴PQ∥AC，又AP=

a

3

，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，
∴CQ=

a

3

，从而DP=DQ=

2a

3

，
∴PQ=

DQ2+DP2

=

( 2a 3 )2+( 2a 3 )2

=

2 2

3

a．
故答案为：

2 2

3

a

由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度．

本题考点：平面与平面平行的性质；棱柱的结构特征．

考点点评：本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明．