题目

已知函数f （x）=x³+

3

2

（1-a）x²-3ax+1，a＞0．
（Ⅰ） 证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有-1≤f （x）≤1；
（Ⅱ）  设（Ⅰ）中的p的最大值为g（a），求g（a）的最大值．

提问时间：2020-12-30

答案

（Ⅰ） 由于 f′（x）=3x²+3（1-a）x-3a=3（x+1）（x-a），且a＞0，
故f （x）在[0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．
又f （0）=1，f （a）=-

1

2

a³-

3

2

a²+1=

1

2

（1-a）（a+2）²-1．
当f （a）≥-1时，取p=a．
此时，当x∈[0，p]时有-1≤f （x）≤1成立．
当f （a）＜-1时，由于f （0）+1=2＞0，f （a）+1＜0，
故存在p∈（0，a）使得f （p）+1=0．
此时，当x∈[0，p]时有-1≤f （x）≤1成立．
综上，对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有-1≤f （x）≤1．
…（7分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f （x）在[0，+∞）上的最小值为f （a）．
当0＜a≤1时，f （a）≥-1，则g（a）是方程f （p）=1满足p＞a的实根，
即2p²+3（1-a）p-6a=0满足p＞a的实根，所以
g（a）=

3(a-1)+ 9a2+30a+9

4

．
又g（a）在（0，1]上单调递增，故
g（a）_max=g（1）=

3

．
当a＞1时，f （a）＜-1．
由于f （0）=1，f （1）=

9

2

（1-a）-1＜-1，故
[0，p]⊂[0，1]．
此时，g（a）≤1．
综上所述，g（a）的最大值为

3

．
…（14分）

（Ⅰ）对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调性，求得极值点，从而求出f（x）的值域；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f （x）在[0，+∞）上的最小值为f （a），需要分类讨论：0＜a≤1或a＞1，对于g（a）的表达式，对其进行求导研究其最值问题；

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识，是一道中档题，也是高考的热点问题；