题目

已知函数fx=ax＾+1/bx+c（a,b,c∈R)是奇函数,又f(1)=2,f(2)=3.证明：当x>根号2/2,f(x)为增函数

提问时间：2020-12-30

答案

证明：
f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)
f(1)=2,f(2)=3
f(1)=(a+1)/(b+c)=2………………（1）
f(2)=(4a+1)/(2b+c)=3………………（2）
f(-x)=(ax^2+1)/(-bx+c)=-f(x)=(ax^2+1)/(-bx+-c)
-bx+c=-bx-c…………………………（3）
由（1）至（3）式解得：
a=2,b=3/2,c=0
所以：f(x)=(2x^2+1)/(3x/2)=2(2x^2+1)/(3x)=(2/3)(2x+1/x)
所以：f(x)属于对勾函数
x>0时：
f(x)=(2/3)(2x+1/x)
>=(2/3)*2√2
当且仅当2x=1/x,x=√2/2时取得最小值
所以：x>√2/2时,f(x)是增函数