题目

高一的解析几何题..
已知曲线C：x^2+y^2-4mx+2my+20m-20=0.求证：
不论m取何实数,曲线C恒过一定点；
当m不等于2时,曲线C是一个圆,且圆心在一条定直线上

提问时间：2020-12-29

答案

1)证明：x^2+y^2-4mx+2my+20m-20=0可化为
(x-2m)^2+(y+m)^2=5(m-2)^2
当m=2时,C为一个点,则该定点坐标为（4,-2）
将该定点带入原方程C,得0=0,与m无关.所以不论m取何实数,曲线C恒过定点（4,-2）.
2）证明：当m=/2时,5（m-2）^2>0,所以曲线C表示一个圆心为（2m,-m),半径为（根号5）（m-2）的圆.
圆心所在的方程为y=(-m/2m)x,即y=(-1/2)x,所以圆心在一条直线上.