题目

已知α为第二象限角，sinα+cosα＝

3

3

，则cos2α=______．

提问时间：2020-12-29

答案

∵sinα+cosα＝

3

3

，两边平方得：1+sin2α=

1

3

，
∴sin2α=-

2

3

，①
∴（sinα-cosα）²=1-sin2α=

5

3

，
∵α为第二象限角，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα-cosα=

15

3

，②
∴cos2α=-（sinα-cosα）（sinα+cosα）
=（-

15

3

）×

3

3

=−

5

3

．
故答案为：−

5

3

．

由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα-cosα的值，利用cos2α=-（sinα-cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．

本题考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．

考点点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα-cosα的值是关键，属于中档题．